西洋棋盤與麥粒的傳說,震驚了所有數學家

在印度舍罕王時代,皇帝曾發出一道命令:

誰能發明一個既能使人娛樂,又能增長知識,讓人變得聰明的東西,就可以終身為官,並可挑選一件皇宮中你最喜歡的貴重物品。

此令一出,全國的能工巧匠紛紛想辦法搞發明做創造,可當一件又一件東西被送到舍罕王眼前時,都沒有一件讓他滿意。

後來有一宰相達依爾跟舍罕王說:「陛下,為臣在家中琢磨了多日,終於發明了棋盤,不知大王滿意否?」舍罕王一聽,忙說道:「什麼棋盤,趕快拿來給朕看一看。

宰相依靠嚴密的數學推理發明了西洋棋,整個棋盤是由 64 個小方格組成。共有 32 個棋子,每方各 16 個,它包括王一枚、王后一枚、仕兩枚、馬兩枚、車兩枚、卒八枚。雙方的棋子在格內移動,以消滅對方的王為勝。

舍罕王看到棋盤後,忙招呼其他大臣與他對弈,舍罕王在棋盤上殺了一局,大獲全勝,打算重賞發明這個棋盤的宰相,便對宰相達依爾說:「官你已做到頂了,不能再封,如再要封,恐怕只有我讓位了。現在重賞你財物,你要些什麼?

宰相達依爾想了一下,就回答皇帝說 :

我要的回報就是在棋盤的第一格,我要皇上給我1 粒麥子;而第二格就要比第一格多一倍,即是2 粒麥子;而第三格又要比第二格多一倍,即是4 粒麥子,如此類推。每下一格要比之前的一格多一倍,直到滿了整個棋盤,我便心足了!

於是舍罕王就說:「你的所求並不算多,朕給你就是了。

當將一袋麥子拿到棋盤前,皇帝請人開始計數麥粒時,還數不到第 20 格,袋子就已經空了。隨後一袋又一袋的麥子被扛到了舍罕王跟前。但是,當麥粒數一格又接一格地迅速增長時,一個糧庫的麥粒也填不滿象棋的一個小格了。

最後,舍罕王派人一算,這才發現,哎呀!天呀!即使將全印度的麥粒拿來,也無法獎賞他對宰相許下的承諾,全印度的麥子竟然連棋盤一半的格子數目都不夠,這位宰相要的麥粒數目實際上是天文數字。

這位宰相最終會得到多少麥子呢?

一個西方的棋盤有64 格,第一格是1 粒;第二格是2 粒;第三格是4 粒;第四格是8 粒;第五格是16 粒;第六格是32 粒,第10 格是512 粒;第20 格是524,288 粒(52 萬4288 粒);第30 格是536,870,912 粒(5 億3687 萬912 粒)。如此類推。

而整個棋盤的麥子總數是18,446,744,073,709,551,615 粒(超過1 千八百萬兆粒),是1990 年全球麥子總收成的 400 倍!而要生產這麼多的麥子,時間需要 2000 年。